Chú thích Tau_(hằng_số_toán_học)

  1. ↑ Notable Large Computations: Pi Alexander J. Yee, cập nhật 25/4/2013: kỷ lục 10,000,000,000,050 chữ số thập phân được ghi cho Shigeru Kondo & Alexander Yee. Để chạy kết quả này, các ông đã phải sử dụng máy tính 2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 nhân vật lý, 24 siêu phân luồng), 96 GB DDR3 với 1066 MHz, ổ đĩa cứng 24 x 2 TB và tính toán trong 371 ngày, từ 10/10/2010 đến 16/10/2011. Xem ảnh cấu hình máy tính tại đây
  2. ↑ The first scalable multi78-threaded Pi-benchmark for multi-core systems... Last updated: ngày 8 tháng 2 năm 2015
  3. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 8
  4. ↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., p 183.
  5. ↑ Holton, David; Mackridge, Peter (2004). “Greek: an Essential Grammar of the Modern Language”. Routledge. ISBN 0-415-23210-4. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp), p. xi.
  6. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 165. Một bản sao tác phẩm của Jones có thể tìm thấy trong Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr. 108–109Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBerggrenBorweinBorwein1997 (trợ giúp)
  7. ↑ Xem Schepler 1950, tr. 220Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSchepler1950 (trợ giúp): trước đó ở thế kỷ XVII,William Oughtred đã sử dụng ký tự π để biểu diễn chu vi của một đường tròn.
  8. 1 2 3 4 5 Arndt & Haenel 2006, tr. 166
  9. ↑ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum. tr. 166.
  10. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 5
  11. 1 2 Salikhov, V. (2008). “On the Irrationality Measure of pi”. Russian Mathematical Survey. 53 (3): 570. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.
  12. ↑ Mayer, Steve. “The Transcendence of π”. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 29 tháng 9 năm 2000. Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2007.
  13. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 25Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
  14. ↑ Eymard & Lafon 1999, tr. 129Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEymardLafon1999 (trợ giúp)
  15. ↑ Beckmann 1989, tr. 37Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBeckmann1989 (trợ giúp)
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8., p 185.
  16. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 22–23
    Preuss, Paul (ngày 23 tháng 7 năm 2001). “Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key”. Phòng thí nghiệm Quốc gia Lawrence Berkeley. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 10 năm 2007. Truy cập ngày 10 tháng 11 năm 2007.
  17. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 22, 28–30
  18. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 3
  19. 1 2 Eymard & Lafon 1999, tr. 78Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEymardLafon1999 (trợ giúp)
  20. ↑ "Sloane's A001203: Continued fraction for Pi", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Khôi phục 12 tháng 4 năm 2012.
  21. ↑ Lange, L. J. (1999). “An Elegant Continued Fraction for π”. American Mathematical Monthly. 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152.
  22. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 240
  23. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 242
  24. ↑ Kennedy, E.S. (1978). “Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048”. Journal for the History of Astronomy. 9: 65. Bibcode:1978JHA.....9...65K. doi:10.1177/002182867800900106. S2CID 126383231. Ptolemy ước lượng số π đến ba chữ số lục thập phân, và Jamshīd al-Kāshī mở rộng thành chín chữ số; xem Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New Mathematical Library. 13. New York: Random House. tr. 125. ISBN 978-0-88385-613-0. Lưu trữ bản gốc ngày 29 tháng 11 năm 2016.
  25. ↑ "Chúng ta có thể kết luận rằng mặc dù những người Ai Cập cổ đại không định nghĩa chính xác giá trị của π, trên thực tế họ đã dùng nó". Verner, M. (2003). “The Pyramids: Their Archaeology and History”. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp)tr. 70.
    Petrie (1940). “Wisdom of the Egyptians”. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp)tr. 30.
    Xem thêm Legon, J. A. R. (1991). “On Pyramid Dimensions and Proportions”. Discussions in Egyptology. 20: 25–34. Bản gốc lưu trữ ngày 18 tháng 7 năm 2011. Truy cập ngày 21 tháng 10 năm 2012.
    Xem thêm Petrie, W. M. F. (1925). “Surveys of the Great Pyramids”. Nature Journal. 116 (2930): 942–942. Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0.
  26. ↑ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.
    Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 9781576076538.
    Xem thêm Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.
    Một danh sách các cách giải thích về hình dạng kim tự tháp không liên quan tới π có thể xem tại Roger Herz-Fischler (2000), The Shape of the Great Pyramid, Wilfrid Laurier University Press, tr. 67–77, 165–166, ISBN 9780889203242
  27. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 167
  28. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 168–169
  29. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 169
  30. ↑ Đó là các bài 1 Các nhà vua 7:23 và 2 Biên niên sử 4:2; xem Arndt & Haenel 2006, tr. 169, Schepler 1950, tr. 165Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSchepler1950 (trợ giúp), vàBeckmann 1989, tr. 14–16Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBeckmann1989 (trợ giúp).
  31. ↑ Các giả thiết rằng hồ có hình lục giác hoặc có một vành cong bao ngoài được đưa ra để giải thích độ chênh lệch với giá trị thực khá lớn. Xem Borwein, Jonathan M.; Bailey, David H. (2008). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century (ấn bản 2). A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-442-1. tr. 103, 136, 137.
  32. ↑ The Scientific & the Divine. James A. Arieti, Patrick A. Wilson (2003). Rowman & Littlefield. tr. 9–10. ISBN 978-0-7425-1397-6.
  33. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 170
  34. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 175, 205
  35. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 171
  36. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 176
    Boyer & Merzbach 1991, tr. 168Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBoyerMerzbach1991 (trợ giúp)
  37. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger đạt được 39 chữ số năm 1630; Sharp 71 chữ số năm 1699.
  38. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 176–177
  39. 1 2 Boyer & Merzbach 1991, tr. 202Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBoyerMerzbach1991 (trợ giúp)
  40. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 177
  41. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 178
  42. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 179
  43. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 180
  44. ↑ Azarian, Mohammad K. (2010). “al-Risāla al-muhītīyya: A Summary” (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85.
  45. ↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999). “Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi”. MacTutor History of Mathematics archive. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
  46. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 182
  47. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 182–183
  48. ↑ Arndt và đồng nghiệpLỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFArndtHaenel2006p183 (trợ giúp)
  49. ↑ Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (bằng tiếng La-tinh). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 1 tháng 2 năm 2014. Truy cập ngày 21 tháng 10 năm 2012. Kết quả của ông là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
  50. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 185–191
  51. ↑ Roy 1990, tr. 101–102Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFRoy1990 (trợ giúp)
    Arndt & Haenel 2006, tr. 185–186
  52. 1 2 3 Roy 1990, tr. 101–102Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFRoy1990 (trợ giúp)
  53. ↑ Joseph 1991, tr. 264Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFJoseph1991 (trợ giúp)
  54. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 188. Newton được Arndt trích dẫn.
  55. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 187
  56. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 188–189
  57. 1 2 Eymard & Lafon 1999, tr. 53–54Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEymardLafon1999 (trợ giúp)
  58. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 189
  59. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 156
  60. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 192–193
  61. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 72–74
  62. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 192–196, 205
  63. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 194–196
  64. 1 2 Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988). “Ramanujan and Pi”. Scientific American. 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112.
    Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
  65. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 69–72
  66. ↑ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989). “Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions”. American Mathematical Monthly. 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715.
  67. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 223, (công thức 16.10). Chú ý rằng (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
    Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . Penguin. tr. 35. ISBN 978-0-140-26149-3.
  68. 1 2 Posamentier & Lehmann 2004, tr. 284Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
  69. ↑ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", in lại trong Berggren, Borwein & Borwein 1997, tr. 129–140Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBerggrenBorweinBorwein1997 (trợ giúp)
  70. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 196
  71. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197
  72. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197. Xem thêm Reitwiesner 1950Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFReitwiesner1950 (trợ giúp).
  73. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 197
  74. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17
  75. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 131
  76. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 132, 140
  77. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 87
  78. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
    Xem Borwein & Borwein 1987Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBorweinBorwein1987 (trợ giúp) để có thêm chi tiết về các thuật toán.
  79. 1 2 3 Bailey, David H. (ngày 16 tháng 5 năm 2003). “Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation” (PDF). Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012.
  80. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 17. "39 chữ số của π là đủ để tính toán thể tích vũ trụ tới nguyên tử gần nhất."
    Liên quan tới các chữ số thêm vào để bù cho sai số làm tròn trong tính toán, Arndt kết luận rằng một vài trăm chữ số sẽ đáp ứng đủ bất kỳ ứng dụng toán học nào.
  81. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 17–19
  82. ↑ Schudel, Matt (ngày 25 tháng 3 năm 2009). “John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi”. The Washington Post. tr. B5.
  83. ↑ “The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?”. The Independent. ngày 8 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012.
  84. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 18
  85. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 103–104
  86. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 104
  87. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 104, 206
  88. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111
  89. ↑ Eymard & Lafon 1999, tr. 254Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEymardLafon1999 (trợ giúp)
  90. ↑ Bellard, Fabrice. “Pi Computation Record”. Lưu trữ bản gốc ngày 18 tháng 5 năm 2011. Truy cập ngày 19 tháng 10 năm 2022.
  91. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111, 206
    Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.
  92. ↑ Pi - 5 Trillion Digits
  93. 1 2 "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", Alexander J. Yee & Shigeru Kondo trên NumberWorld.org, Cập nhật 22/10/2011. Truy cập 7/1/2013.
  94. ↑ Cassel, David (11 tháng 6 năm 2022). “How Google's Emma Haruka Iwao Helped Set a New Record for Pi”. The New Stack. Lưu trữ bản gốc ngày 11 tháng 6 năm 2022. Truy cập ngày 19 tháng 10 năm 2022.
  95. ↑ Plouffe, Simon (tháng 4 năm 2006). “Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)” (PDF). Truy cập ngày 10 tháng 4 năm 2009.
  96. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 77–84
  97. 1 2 Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons đã tạo ra một phiên bản cải tiến của thuật toán Wagon.
  98. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 77
  99. ↑ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (1995). “A spigot algorithm for the digits of Pi”. American Mathematical Monthly. 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006. Một chương trình máy tính đã được tạo ra thực hiện thuật toán Wagon với chỉ 120 ký tự của phần mềm.
  100. 1 2 Arndt & Haenel 2006, tr. 117, 126–128
  101. ↑ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon (1997). “On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
  102. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 128. Plouffe đã tạo ra một thuật toán trích xuất chữ số thập phân, nhưng nó chậm hơn các tính toán đầy đủ, trực tiếp tất cả các số đứng trước.
  103. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 20
    Bellards formula in: Bellard, Fabrice. “A new formula to compute the nth binary digit of pi”. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 9 năm 2007. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007.
  104. ↑ Palmer, Jason (ngày 16 tháng 9 năm 2010). “Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit”. BBC News. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2011.
  105. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 200, 209Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  106. ↑ Weisstein, Eric W., "Semicircle" từ MathWorld.
  107. 1 2 Ayers 1964, tr. 60
  108. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 210–211Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  109. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 39
  110. ↑ Ramaley, J. F. (1969). “Buffon's Noodle Problem”. The American Mathematical Monthly. 76 (8): 916–918. doi:10.2307/2317945. JSTOR 2317945.
  111. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 39–40
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
  112. ↑ Badger, Lee (1994). “Lazzarini's Lucky Approximation of π”. Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 67 (2): 83–91. doi:10.2307/2690682. JSTOR 2690682.
  113. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 43
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105–108Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
  114. ↑ Ayers 1964, tr. 100
  115. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 592Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  116. ↑ Maor, Eli, E: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 ("five most important" constants).
  117. ↑ Weisstein, Eric W., "Roots of Unity" từ MathWorld.
  118. ↑ Weisstein, Eric W., "Cauchy Integral Formula", MathWorld.
  119. ↑ Joglekar, S. D., Mathematical Physics, Universities Press, 2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1.
  120. 1 2 Klebanoff, Aaron (2001). “Pi in the Mandelbrot set” (PDF). Fractals. 9 (4): 393–402. doi:10.1142/S0218348X01000828. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012.
  121. ↑ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, tr. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.
  122. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 191–192Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  123. ↑ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 190Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  124. ↑ Hilbert, David; Courant, Richard (1966), Methods of mathematical physics, volume 1, Wiley, tr. 286–290
  125. ↑ Dym, H.; McKean, H.P. (1972), Fourier series and integrals, Academic Press, tr. 47
  126. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 41–43
  127. ↑ Định lý này được chứng minh bởi Ernesto Cesàro năm 1881. Xem một chứng minh chặt chẽ hơn ở Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, định lý 332.
  128. ↑ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.
  129. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 43
  130. ↑ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, 1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7.
  131. ↑ Imamura, James M (ngày 17 tháng 8 năm 2005). “Heisenberg Uncertainty Principle”. Đại học Oregon. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2007. Truy cập ngày 9 tháng 9 năm 2007.
  132. ↑ Yeo, Adrian, The pleasures of pi, e and other interesting numbers, World Scientific Pub., 2006, p 21, ISBN 978-981-270-078-0.
    Ehlers, Jürgen, Einstein's Field Equations and Their Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3-540-67073-5.
  133. ↑ Nave, C. Rod (ngày 28 tháng 6 năm 2005). “Coulomb's Constant”. HyperPhysics. Georgia State University. Truy cập ngày 9 tháng 11 năm 2007.
  134. ↑ C. Itzykson, J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
  135. ↑ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
  136. 1 2 Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 106–107, 744, 748Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBronshteĭnSemendiaev1971 (trợ giúp)
  137. ↑ Low, Peter, Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116–118, ISBN 978-0-521-08089-7.
  138. ↑ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521-66396-2.
  139. ↑ Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-116043-4.
  140. ↑ Hans-Henrik Stølum (ngày 22 tháng 3 năm 1996). “River Meandering as a Self-Organization Process”. Science. 271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Sci...271.1710S. doi:10.1126/science.271.5256.1710.
  141. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 140–141Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
  142. 1 2 3 Arndt & Haenel 2006, tr. 44–45
  143. ↑ “Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi”. News Guangdong. ngày 28 tháng 11 năm 2006. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. Ông đọc sai số thứ 67 891, đáng lẽ là "0" lại đọc là "5"
  144. ↑ "Most Pi Places Memorized", Guinness World Records. Truy cập ngày 3 tháng 4 năm 2012.
  145. ↑ Otake, Tomoko (ngày 17 tháng 12 năm 2006). “How can anyone remember 100,000 numbers?”. The Japan Times. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007.
  146. ↑ Raz, A.; Packard, M. G. (2009). “A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist”. Neurocase. 6: 1–12.
  147. ↑ Keith, Mike. “Cadaeic Cadenza Notes & Commentary”. Truy cập ngày 29 tháng 7 năm 2009.
    One/APoem/ARaven/Midnightssodrearytiredandweary
    3.1415926535
  148. ↑ Michael Keith & Diana Keith (ngày 17 tháng 2 năm 2010). Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. ISBN 978-0963009715.Quản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (liên kết)
  149. ↑ Posamentier & Lehmann 2004, tr. 118Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
    Arndt & Haenel 2006, tr. 50
  150. 1 2 MIT cheers. Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012.
  151. ↑ Great Pi Day Activities for Teachers Pi Day March 14, 2008
  152. ↑ “Supporting the designation of Pi Day, and for other purposes” (Thông cáo báo chí). Hạ viện Hoa Kỳ, Library of Congress. 9 tháng 3 năm 2009. Bản gốc lưu trữ ngày 7 tháng 8 năm 2009. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.
  153. ↑ “Google's strange bids for Nortel patents”. FinancialPost.com. Reuters. ngày 5 tháng 7 năm 2005. Truy cập ngày 16 tháng 8 năm 2011.
  154. ↑ Abbott, Stephen (tháng 4 năm 2012). “My Conversion to Tauism” (PDF). Math Horizons. 19 (4): 34. doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34.
  155. ↑ Palais, Robert (2001). “π Is Wrong!” (PDF). The Mathematical Intelligencer. 23 (3): 7–8. doi:10.1007/BF03026846.
  156. ↑ Hartl, Michael. “The Tau Manifesto”. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012.
  157. ↑ Palmer, Jason (ngày 28 tháng 6 năm 2011). “'Tau day' marked by opponents of maths constant pi”. BBC News. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012.
  158. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 14. Phần này của câu chuyện bị lược đi trong kịch bản chuyển thể phim từ tiểu thuyết này.
  159. ↑ Gill, Andy (ngày 4 tháng 11 năm 2005). “Review of Aerial”. The Independent. hầu hết sự thỏa mãn tự kỉ của nhà toán học bị ám ảnh-ép buộc bị mê hoặc bởi "Pi" (thứ tạo nên cơ hội được nghe Bush chậm rãi hát những khúc dài con số được xem xét, dài hàng tá chữ số)
  160. ↑ Hard 'n Phirm (2005). “Horses and Grasses. Hard 'N Phirm” (bằng tiếng Anh). Lưu trữ bản gốc ngày 20 tháng 1 năm 2010.
  161. ↑ Hard 'n Phirm: "Pi". Đạo diễn: Keith Schofield
  162. ↑ Edward J. Goodwin (July 1894) "Quadrature of the circle," American Mathematical Monthly, 1(7): 246-248.
    • See: Purdue Agricultural Economics.
    • Reprinted in: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein, Pi: A Source Book, 3rd ed. (New York, New York: Springer-Verlag, 2004), page 230.
    • See also: Edward J. Goodwin (1895) "(A) The trisection of an angle; (B) Duplication of the cube," American Mathemtical Monthly, 2: 337.
  163. ↑ Arndt & Haenel 2006, tr. 211–212
    Posamentier & Lehmann 2004, tr. 36–37Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFPosamentierLehmann2004 (trợ giúp)
    Hallerberg, Arthur (tháng 5 năm 1977). “Indiana's squared circle”. Mathematics Magazine. 50 (3): 136–140. doi:10.2307/2689499. JSTOR 2689499.
  164. ↑ Midnight Entity, Tardis Index File. accessed ngày 22 tháng 7 năm 2012
  165. ↑ Martel, Yann (2001). Life of Pi. Knopf Canada. ISBN 0-676-97376-0.